数据结构第二章 算法

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  1. 1:算法:
  2. 2:算法的五个基本特性:输入、输出、有穷性、确定性和可行性
  3. 3:算法设计的要求:正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低
  4. 4:算法效率的度量方法
  5. 4.1:O(1)<O(log n)<O(n)<O(n log n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

算法:

算法是解决特定问题求解步骤的描述,在计算机中表现为指令的有限序列,并且每条指令表示一个或多个操作

高斯的童年故事:

高斯上三年级时,有一次老师给学生们出了一道求1至100之和的算术题。不料,老师叙述完题目不过几秒种,高斯 就第一个把写有答案的小石板交了上去,老师起初并不注意这一举动,心想这个小家伙不知道写了些什么。但当他检查完全班学生的石板,发现唯一正确的答案是属于高斯 时,才大吃一惊。而更令人吃惊的是,高斯用了教师未曾教过的计算等差级数的办法。即将一头一尾挨次两个数相加,这样,和都是一样的:1加100是101;2加99是101;直到50加51和也是101;一共有50个101;用50乘101,最后得出了正确答案:5050。

用程序实现如下:
int i,sum = 0,n = 100;
sum = (1+n)*n/2;
printf("%d",sum);

那么,什么是算法呢?简单的来说,算法是解决问题的方法,上面的例子就是一个算法实例。

算法的五个基本特性:输入、输出、有穷性、确定性和可行性

  • 输入输出:算法具有零个或多个输入,至少有一个或多个输出
  • 有穷性:指算法在执行有限的步骤之后,自动结束而不会出现无限循环,并且每一个步骤在可接受的时间内完成
  • 确定性:算法的每一步骤都具有确定的含义,不会出现二义性
  • 可行性:算法的每一步都必须是可行的,每一步都能通过执行有限次数完成

算法设计的要求:正确性、可读性、健壮性、时间效率高和存储量低

  • 正确性:算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案
  • 可读性:要便于阅读、理解和交流
  • 健壮性:当输入数据不合法时,算法也能做出相关处理,而不是产生异常或莫名其妙的结果
  • 时间效率高和存储量低:设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求,用最少的存储空间实现算法功能

算法效率的度量方法

事后统计方法:通过设计好的测试程序和数据,利用计算机计时器不同对不同算法编制的程序的运行时间进行比较,从而确定算法效率的高低(有弊端,一般不用)

事前分析估算方法:在计算机程序编制前,依据统计方法对算法进行估算

一个程序的运行时间,依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。

两种求和算法比较:

/*第一种算法*/
int i,sum = 0,n = 100; /*执行1次*/
for(i = 1;i < = n;i++) /*执行n+1次*/
{
    sum = sum+i;  /*执行n次*/
}
printf("%d",sum);  /*执行1次*/
/*第二种算法*/
int i,sum = 0,n = 100;/*执行1次*/
sum = (1+n)*n/2;/*执行1次*/
printf("%d",sum);/*执行1次*/

第一种算法,执行了2n+3次,而第二种算法,只执行了3次。这两个算法是n次与1次的差距,算法好坏显而易见。我们在分析一个算法的运行时间时,重要的是把基本操作的数量和输入规模关联起来,即基本操作的数量必须表示成输入规模的函数:

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算法时间复杂度

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,记作:T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进时间复杂度,简称为时间复杂度。

大O记法来体现算法复杂度。

推导大O阶:

  • 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  • 在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项
  • 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大O阶

上面例子中两个算法的时间复杂度分别是O(n)和O(1)。

常见的时间复杂度如下表:

非正式术语
O(1) 常数阶
O(n) 线性阶
O(n^2) 平方阶
O(log n) 对数阶
O(n log n) n log2 n阶
O(n^3) 立方阶
O(z^n) 指数阶

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是:

O(1)<O(log n)<O(n)<O(n log n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)

最坏情况与平均情况:

最坏情况运行时间时一种保证,那就是运行时间将不会再坏了。在应用中,这是一种最重要的需求,通常,除非特别指定,我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。

一般在没有特殊说明的情况下,都是指最坏时间复杂度

算法空间复杂度:

们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的,因为它是期望的运行时间。

一般在没有特殊说明的情况下,都是指最坏时间复杂度

算法空间复杂度:

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现,算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)=O(f(n)),其中,n为问题的规模,f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

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